Problème d'Automne

\[ \text{ Soit } \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, \text{ soit } \alpha \text{ un nombre réel, et soit } p \text{ l'application de } \Omega \text{ dans } \mathbb{R} \text{ définie par :} \]\[ p(n) = n^2 \alpha I_n \quad \text{ pour tout } n \in \Omega\,,\; \text{ où } I_n = \int_{0}^{1} \frac{x^{n-1}}{1 + x^n} \, dx. \]\[ \text{Déterminer } \alpha \text{ pour qu'il existe une probabilité } P \text{ sur } (\Omega, \mathcal{P}(\Omega)), \text{ telle que, pour tout } n \in \Omega, \text{ on ait } P(\{n\}) = p(n). \] \[ \] \[ \tag*{(D'après un exercice du bac C 1980)} \]